중2 수학 방정식과 부등식 문제 풀어주세요

[수학]

개념플러스 유형 (라이트)2-1에 p.131 7-c문제인데요.

-9≤x≤6, 2≤y≤3 에서

-18≤2x≤12,  1/3 ≤ 1/y ≤ 1/2 이므로

-18× 1/2 ≤2x/y≤12× 1/2

  ∴-9≤2x/y≤6

1.  양쪽에 1/3과 1/2 을 곱하는 이유를 설명을 들어도 잘 모르겠다네요, 자세히 풀어서 설명부탁드립니다.

2. 두번째 각각 양쪽에 1/2을 곱하는 이유를 설명을 들었는데도 잘 모르겠답니다, 자세히 풀어서 설명 부탁드립니다.

감사합니다, 꼭 부탁드려요~

[aka]

곱했을겨우 가장 작은값과 큰값이 오게 하려는 것이네 1/2인경우가 만족을 합니다x범위에 음수가 있었으면 상황은 달라지지만 현조건에서는 그렇답니다

[aka]

음수 양수로 수정

[지나가다..]

부등식의 연산에 관한 내용인데..
1.에서는 부등식의 연산은 두개 미지수를 덧셈과 곱셈으로 하는 것이 자연스럽습니다. 빼기 나누기는 교차시켜 계산해야 하므로 틀리기 쉽습니다. 그래서 y를 나누지 않고, 역수를 취하여 1/y의 범위를 만들어 2x와 곱하려고 하는 것입니다.

[지나가다..]

2.에서는 두 미지수의 범위를 곱하여 최대 최소 범위를 구하면 됩니다. 둘다 양수라면 당연히 큰쪽끼리 작은쪽끼리 곱하면 되는데, 문제는 2x의 범위가 음수도 있기에 달라집니다. 양수의 최대는 당연히 큰쪽 곱하기 큰쪽이고, 음수의 최대는 음수의 큰쪽 곱하기 양수의 큰쪽이기 때문에 둘다 1/2을 곱해야 합니다.

[수학]

감사합니다, (_ _)

[빵빵부]

-9≤x≤6, 2≤y≤3 에서

-18≤2x≤12, 1/3 ≤ 1/y ≤ 1/2 이므로

-18× 1/2 ≤2x/y≤12× 1/2, ∴-9≤2x/y≤6

1. 양쪽에 1/3과 1/2 을 곱하는 이유를 설명을 들어도 잘 모르겠다네요, 자세히 풀어서 설명부탁드립니다.

: 부등식에서 역수를 취했을 때의 경우입니다. 여기서는 1/3과 1/2를 곱하는 것으로 생각하지 마시고, 역수를 취했을 때 양쪽이 왜 바뀌는지라고 보는 것이 맞을 것 같습니다.

방정식은 양변에 똑 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나 0이 아닌수로 나누었을 때도 부호에 관계없이 양변이 같지만, 부등식일 경우에는 음수와 분수를 곱하거나 역수를 취할 경우 부등호의 방향이 변합니다.

먼저 2≤y≤3 에서, 역수를 취하는 경우 1/2≤1/y≤1/3을 그대로 쓰면 부등식이 성립이 안되죠. 1/2보다 크로 1/3보다 작다는 성립이 안되잖아요. 이 경우 부등호 방향을 바꿔야 합니다. 즉 1/2≥1/y≥1/3이라고 표현되구요, 이것을 다시 작은 것부터 순서대로 정리하다 보니 1/3≤1/y≤1/2로 표현하는거죠.

결론 : 2≤y≤3에 역수, 1/2≥1/y≥1/3 (부등호 방향이 바뀌고), 1/3≤1/y≤1/2 (순서대로 정리)


2. 두번째 각각 양쪽에 1/2을 곱하는 이유

: -18≤2x≤12, 1/3 ≤ 1/y ≤ 1/2 이므로

-18× 1/2 ≤2x/y≤12× 1/2

∴-9≤2x/y≤6

이것은 두 부등식을 곱한 경우인데요. 원래는 네가지 값이 나옵니다.

즉, 2x/y를 구하는데 어떻게 구하느냐의 문제구요, 한번 해보죠.
2x의 값은 -18과 12이고 1/y의 값은 1/3과 1/2입니다. 그럼

① (2x의 -18) * (1/y의 1/3) = -18*1/3 = -6
② (2x의 -18) * (1/y의 1/2) = -18*1/2 = -9
③ (2x의 12) * (1/y의 1/3) = 12*1/3 = 4
④ (2x의 12) * (1/y의 1/2) = 12*1/2 = 6

이중 제일 작은값이 -9, 제일 큰 값이 6이므로 A≤2x/y≤B의 A값이 -9, B의 값이 6이라고 하는겁니다.
문제의 풀이는 이 중간 과정 없이 그냥 결론이 되는 곱부분만 써준거구요, -18× 1/2 ≤2x/y≤12× 1/2이라구요.
-18× 1/2가 위 ② (2x의 -18) * (1/y의 1/2) = -18*1/2 = -9 을,
12× 1/2가 위 ④ (2x의 12) * (1/y의 1/2) = 12*1/2 = 6를 표현한 겁니다.

그런데 실제 구할 때는 ① (2x의 -18) * (1/y의 1/3) = -18*1/3 = -6, ② (2x의 -18) * (1/y의 1/2) = -18*1/2 = -9, ③ (2x의 12) * (1/y의 1/3) = 12*1/3 = 4, ④ (2x의 12) * (1/y의 1/2) = 12*1/2 = 6를 다 구하고 이중 제일 작은 값과 제일 큰 값을 구하는 과정이 필요합니다.

[빵빵부]

부등식은

1. 양변에 똑같은 수를 더해도 부등식은 성립합니다. 단, 이경우 부등호 방향은 변하지 않습니다.

예) -2≤x≤9에 양변에 3을 더하면, -2+3≤x+3≤9+3, 1≤x≤12, 왜 부등호가 안바뀌냐면 1보다 크고 9보다 작은게 성립이 되니까요.

2. 양변에 똑같은 수를 빼도 부등식은 성립합니다. 단, 이경우 부등호 방향은 변하지 않습니다.

예) -2≤x≤9에 양변에 3을 빼면, -2-3≤x-3≤9-3, -5≤x≤6, 왜 부등호가 안바뀌냐면 -5보다 크고 6보다 작은게 성립이 되니까요.

3. 양변에 똑같은 수를 곱하거나 0이 아닌 수로 나눌 때는 값을 보고 결정하면 됩니다.

예) 양수를 곱하면 : -2≤x≤9에 양변에 3을 곱하면, -2*3≤x*3≤9*3, -6≤3x≤27, 왜 부등호가 안바뀌냐면 -6보다 크고 27보다 작은게 성립이 되니까요.

예) 음수를 곱하면 : -2≤x≤9에 양변에 -3을 곱하면, -2*-3≤x*-3≤9*-3, 9≤-3x≤-27, 이 식은 성립이 안되죠. 9보다 크고 -27보다 작은 것이 성립이 안되니까요. 그래서 부호를 바꿔야 합니다. 9≥x≥-27 이렇게요. 이걸 순서대로 정리하면, -27≤x≤9가 됩니다.

예) 양수를 나누면 : -2≤x≤9에 양변에 3을 나누면, -2/3≤x/3≤9/3, -2/3≤x/3≤3, 왜 부등호가 안바뀌냐면 -2/3보다 크고 3보다 작은게 성립이 되니까요.

예) 음수를 나누면 : -2≤x≤9에 양변에 -3을 나누면, -2/-3≤x/-3≤9/-3, 2/3≤-x/3≤-3, 이 식은 성립이 안되죠. 2/3보다 크고 -3보다 작은 것이 성립이 안되니까요. 그래서 부호를 바꿔야 합니다. 2/3≥x≥-3 이렇게요. 이걸 순서대로 정리하면, -3≤-x/3≤2/3가 됩니다.

4. 역수를 취하면, -2≤x≤9를 역수를 취하면 1/-2≤1/x≤1/9이며 -1/2보다 크고 1/9보다 작은 것은 성립이 됩니다. 그래서 이 경우는 이게 답이구요,

만약 원래 부등식이 2≤x≤9라면, 역수를 취하면 1/2≤1/x≤1/9이며 1/2보다 크고, 1/9보다 작은 것은 성립이 안되므로 부등호 방향을 바꿔야합니다. 1/2≥1/x≥1/9, 순서대로 정리하면 1/9≤1/x≤1/2이 됩니다.


--- 부등식의 연산시 더하거나 빼거나 고하거나 나누는 경우 부등호 방향이 바뀌는 것은 그 결과가 맞게 하기 위한 것이구요, 고등학교에 올라가서 문자와 식으로 연산이 이루어질 경우에는 이 경우들을 일반화해서 부등호방향을 바꾸어 줍니다.

예) a≤x≤b일 때 (a,b≤0) 양변에 -3을 곱하면 -3a≥-3x≥-3라고 해주요. 즉 일반화 시키는 경우에 연산시 방향을 바꿔야되느냐 아니냐는 그 결과가 성립이 되느냐 아니냐에 달려 있습니다. 음...좀 이ㅐ가 가셨을지 모르겠네요. 쉽게 풀어쓴다고 했는데 만약에 이해가 안가시면 안가시는 부분을 다시 달아주세요...

[빵빵부]

마지막 예에서 a≤x≤b일 때 (a,b≤0) 는 a≤x≤b일 때 (a,b≥0)로, -3a≥-3x≥-3은 -3a≥-3x≥-3b로 정정합니다. 잘못 썼네요.